가우스-조던 소거법을 이용한 행렬 연산: 선형 대수학의 알고리즘적 접근

작성일 : 2024-06-21

가우스-조던 소거법을 이용한 행렬 연산: 선형 대수학의 알고리즘적 접근

개요

가우스-조던 소거법은 선형 대수학에서 매우 중요한 알고리즘입니다. 이는 주로 행렬의 계단형 형태로의 변환을 통해 주어진 행렬을 간단한 형태로 바꾸거나 역행렬을 구하는 데 사용됩니다. 이 글에서는 가우스-조던 소거법이 무엇인지, 어떻게 동작하는지, 그리고 실제 예제와 함께 이를 구현하는 과정을 단계별로 설명하겠습니다.

가우스-조던 소거법의 개념

가우스-조던 소거법은 행렬을 행렬의 가우스 소거법을 이용하여 계단형 행렬(Reduced Row Echelon Form, RREF)으로 변환하는 과정입니다. 간단히 말해, 행렬의 각 행에서 특정 변형을 수행하여 상삼각 행렬, 또는 단위 행렬의 형태를 만드는 것을 목표로 합니다. 이 방법은 주로 다음 세 가지 변형을 사용합니다:

행의 교환(Row Swap): 두 행을 서로 교환합니다.
행의 스칼라 곱(Row Multiplication): 한 행의 모든 요소를 동일한 스칼라 값으로 곱합니다.
행의 덧셈(Row Addition): 한 행에 다른 행의 스칼라 배수를 더합니다.

가우스-조던 소거법의 절차

가우스-조던 소거법은 특정한 규칙과 순서에 따라 행렬을 변형하는 알고리즘입니다. 주어진 행렬을 계단형 행렬로 변환하는 주요 단계는 다음과 같습니다:

피벗 선택: 현재 열에서 가장 큰 절대값을 가지는 요소를 피벗 요소로 선택합니다. 이 요소가 0이 아니어야 하며, 0이라면 교환 작업을 통해 0이 아닌 요소가 선택될 수 있도록 합니다.
피벗 요소 1로 만들기: 피벗 요소가 속한 행의 모든 요소를 피벗 요소로 나누어 피벗 요소를 1로 만듭니다.
피벗 열에서 다른 요소 소거: 피벗 요소가 위치한 열의 다른 요소들을 0으로 만듭니다. 이를 위해, 다른 행에서 피벗 요소의 배수를 빼는 형태로 조작합니다.
다음 피벗 선택: 첫 단계로 돌아가, 다음 열에 대해 피벗 선택부터 피벗 열 소거까지 반복합니다.

이 과정은 모든 열이 처리될 때까지 반복됩니다.

실제 예제

여기서 간단한 예제를 통해 가우스-조던 소거법의 절차를 단계별로 알아보겠습니다. 다음의 행렬 A를 고려해 보겠습니다:

A = 
[[2, 1, -1,  8],
 [1, 3, -2, -4],
 [3, 2, -3,  1]]

1단계: 피벗 선택과 첫 번째 변환

첫 번째 열에서 피벗 요소를 선택합니다. 첫 번째 열에서 가장 큰 절대값을 가지는 요소는 3이므로, 세 번째 행을 첫 번째 행과 교환합니다.

[[3, 2, -3,  1],
 [1, 3, -2, -4],
 [2, 1, -1,  8]]

2단계: 피벗 요소 1로 만들기

첫 번째 행의 피벗 요소 3을 1로 만들기 위해 첫 번째 행을 3으로 나눕니다:

[[1, 2/3, -1, 1/3],
 [1,  3, -2,  -4],
 [2,  1, -1,   8]]

3단계: 피벗 열에서 다른 요소 소거

첫 번째 열의 다른 요소들을 0으로 만듭니다. 먼저 두 번째 행에서 첫 번째 행을 뺍니다:

[[1, 2/3, -1, 1/3],
 [0, 7/3, -1, -13/3],
 [2,   1, -1,    8]]

이제 세 번째 행에서 두 배의 첫 번째 행을 빼줍니다:

[[1, 2/3, -1, 1/3],
 [0, 7/3, -1, -13/3],
 [0, -1/3, 1, 23/3]]

4단계: 다음 피벗 선택 및 반복

두 번째 열에서 피벗 요소를 선택합니다. 두 번째 행에서 가장 큰 절대값을 가지는 요소는 7/3이므로, 이 행을 기준으로 계속 진행합니다.

두 번째 행을 7/3으로 나눕니다:

[[1, 2/3, -1,  1/3],
 [0,    1, -3/7, -1],
 [0, -1/3,  1,  23/3]]

이제 두 번째 열의 다른 요소들을 0으로 만듭니다. 첫 번째 행에서 (2/3) * 두 번째 행을 빼줍니다:

[[1, 0, -5/7, 7/3],
 [0, 1, -3/7, -1],
 [0, -1/3, 1, 23/3]]

세 번째 행에서 (-1/3) * 두 번째 행을 더합니다:

[[1, 0, -5/7,  7/3],
 [0, 1, -3/7, -1],
 [0, 0, 8/7, 24/3]]

마지막으로 세 번째 열에서 피벗 요소를 선택하여 0이 아닌 모든 요소를 변경합니다.

세 번째 행을 8/7로 나눕니다:

[[1, 0, -5/7, 7/3],
 [0, 1, -3/7, -1],
 [0, 0, 1, 21/8]]

피벗 열에서 첫 번째와 두 번째 행에 대해 피벗 요소를 소거합니다:

[[1, 0, 0, 23/8],
 [0, 1, 0, 2/7],
 [0, 0, 1, 21/8]]

이제 주어진 행렬은 계단형 행렬로 바뀌었습니다.

결론

가우스-조던 소거법은 선형 대수학에서 매우 중요한 알고리즘으로, 이를 통해 행렬을 단순화하고 역행렬을 구할 수 있습니다. 이 알고리즘은 행렬 연산을 효과적으로 수행하는 데 도움이 되며, 수많은 실전 문제에서 유용하게 사용될 수 있습니다.