유클리드 알고리즘의 혁명! 최대 공약수를 순식간에 구하는 법

작성일 : 2024-06-14

유클리드 알고리즘의 혁명! 최대 공약수를 순식간에 구하는 법

유클리드 알고리즘은 두 수의 최대 공약수(GCD, Greatest Common Divisor)를 빠르고 효율적으로 구하는 방법입니다. 이 알고리즘은 기원전 300년에 그리스의 수학자 유클리드가 제안한 것으로, 오늘날에 이르러서도 다양한 응용 분야에서 광범위하게 사용되고 있습니다. 이 글에서는 유클리드 알고리즘의 원리부터 구체적인 구현 방법까지 자세히 살펴보겠습니다.

유클리드 알고리즘의 원리

유클리드 알고리즘은 두 수의 최대 공약수를 구하기 위해 다음과 같은 단계들을 따릅니다:

두 수 중 큰 수를 선택합니다. 이 두 수를 a와 b라고 합시다. 여기서 a >= b입니다.
a를 b로 나눈 나머지를 구합니다. 이 나머지를 r이라고 합니다.
a를 b로 대체하고, b를 r로 대체합니다.
나머지 r이 0이 될 때까지 이 과정을 반복합니다. r이 0이 되면, b가 바로 최대 공약수(GCD)입니다.

이 과정을 공식화하면 다음과 같은 수식이 됩니다:

GCD(a, b) = GCD(b, a % b)

이 수식을 끝까지 반복하여 b가 0이 되는 순간의 a가 원하는 최대 공약수입니다.

유클리드 알고리즘의 예시

간단한 예시를 통해 유클리드 알고리즘의 동작 과정을 확인해 봅시다. 예를 들어 a = 48과 b = 18의 최대 공약수를 구해보겠습니다.

첫 번째 단계: a = 48, b = 18입니다.
```
r = 48 % 18 = 12
a = 18
b = 12
```
두 번째 단계: a = 18, b = 12입니다.
```
r = 18 % 12 = 6
a = 12
b = 6
```
세 번째 단계: a = 12, b = 6입니다.
```
r = 12 % 6 = 0
a = 6
b = 0
```
나머지 r이 0이므로, b는 0입니다. 따라서 GCD는 a = 6입니다.

이처럼 유클리드 알고리즘을 사용하면 수작업으로도 쉽게 최대 공약수를 구할 수 있습니다.

유클리드 알고리즘의 파이썬 구현

유클리드 알고리즘을 파이썬 코드로 구현하면 어떻게 될까요? 아래는 간단한 파이썬 코드 예제입니다:


python
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

# 예시
print(gcd(48, 18))  # 출력: 6

이 코드에서 gcd 함수는 두 수 a와 b를 입력받아 유클리드 알고리즘에 따라 최대 공약수를 반환합니다. while 루프를 통해 b가 0이 될 때까지 반복하면서 a와 b의 값을 갱신합니다.

유클리드 알고리즘의 응용

유클리드 알고리즘은 단순히 두 수의 최대 공약수를 구하는 것에 그치지 않습니다. 이 알고리즘은 공학, 물리학, 암호학 등 다양한 분야에서 널리 활용되고 있습니다. 대표적인 응용 예는 다음과 같습니다:

분수의 기약화: 두 수의 최대 공약수를 구하면 분수를 기약 분수로 쉽게 변환할 수 있습니다.
RSA 암호화: RSA 알고리즘에서는 큰 소수의 최대 공약수를 이용하여 공개 키와 비밀 키를 생성합니다. 이때 유클리드 알고리즘이 핵심 역할을 합니다.
문자열 유사도 계산: 문자열 편집 거리 같아요 측정 방법 중 하나로써, 유클리드 알고리즘은 두 문자열 사이의 유사도 계산에도 사용될 수 있습니다.
다항식의 최대 공약수: 수학에서 다항식의 최대 공약수를 구하는 데도 유클리드 알고리즘이 활용될 수 있습니다.

결론

유클리드 알고리즘은 두 수의 최대 공약수를 효율적으로 계산하는 강력한 도구입니다. 기원전 300년경에 유클리드가 제안한 이래로, 이 알고리즘은 여러 가지 수학적, 공학적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 해왔습니다. 간단한 원리와 구현 가능성을 통해 이해할 수 있으며, 다양한 응용 분야에서 폭넓게 활용될 수 있습니다. 앞으로의 연구에서도 유클리드 알고리즘의 응용 가능성은 무궁무진하다고 할 수 있습니다.