헝가리안 알고리즘 개요

헝가리안 알고리즘은 이원 할당 문제에서 최적의 해결책을 찾기 위해 개발된 효율적인 방법입니다. 이 알고리즘은 주어진 작업들을 가중치 행렬에 기반하여 사람이나 기계에 최적으로 할당합니다. 기초적인 내용은 매칭 문제에서 시작하였으며, 이는 그래프 이론에서 유도된 방법입니다.

이원 할당 문제란?

이원 할당 문제는 주어진 작업들을 한 집합에서 다른 집합으로 할당하는 문제입니다. 최적 자원 분배 전략을 찾기 위해 모든 가능한 할당을 탐색하는 방법은 시간 복잡도가 매우 높기 때문에 효율적인 알고리즘이 필요합니다. 이 때, 헝가리안 알고리즘이 사용됩니다.

헝가리안 알고리즘의 역사

헝가리안 알고리즘은 1955년에 해럴드 쿠눈이 처음 개발한 방법입니다. 그 이후로, 다양한 변형 알고리즘이 나오게 되었으며, 이는 작업 할당 문제뿐만 아니라 네트워크 설계, 자원 분배 등 다양한 분야에서 활용되고 있습니다.

헝가리안 알고리즘의 기본 원리

헝가리안 알고리즘의 기본 원리는 간단한 수학적 연산을 통해 비용 행렬을 수정하는 방식입니다. 초기 비용 행렬에서 각 행과 열에서 최소값을 뺀 후, 0이 포함된 행렬을 이용해 최대 매칭을 찾습니다. 이 과정에서 최소 비용을 유지하며 작업들을 할당합니다.

헝가리안 알고리즘의 단계별 실행 과정

1. 입력 행렬 준비

헝가리안 알고리즘을 실행하기 위해서는 우선 입력 행렬이 필요합니다. 이 행렬은 작업과 사람 또는 기계 사이의 비용 또는 시간을 나타냅니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

|    | A  | B  | C  |
|----|----|----|----|
| 1  | 2  | 4  | 3  |
| 2  | 3  | 2  | 1  |
| 3  | 4  | 3  | 2  |

2. 행과 열 최소값 빼기

각 행과 열에서 최소값을 빼줍니다. 이를 통해 비용을 줄이고 '0'이 포함된 새로운 행렬을 만듭니다. 새로운 행렬이 다음과 같습니다.

|    | A | B | C |
|----|---|---|---|
| 1  | 1 | 3 | 2 |
| 2  | 2 | 1 | 0 |
| 3  | 2 | 1 | 0 |

3. 최소 커버 선 그리기

생성된 '0'을 포함하는 최소 개수의 행 또는 열을 선택하여 커버 선을 그립니다. 이 때, 모든 0을 커버해야 합니다.

4. 행렬 수정

커버되지 않은 요소들 중 최소값을 찾아, 이 값에 따라 행렬을 수정합니다. 최소값을 커버되지 않은 요소에서 빼고, 두 번 커버된 요소에는 더해줍니다.

5. 반복

위 과정을 필요할 때까지 반복합니다. 최종적으로 각 행과 열에서 정확히 하나씩 0을 포함하는 행렬을 만들 때까지 수행합니다.

실제 문제 해결 사례

예제 설명

세 사람에게 세 가지 작업을 할당하는 문제를 살펴봅시다. 아래와 같이 가중치 행렬이 주어진다고 가정하면 헝가리안 알고리즘을 통해 최적의 할당을 찾을 수 있습니다.

	A	B	C
1	1	2	3
2	4	6	5
3	7	8	9

단계별 실행

1. 행 최소값 뺄셈: 각 행의 최소값을 빼줍니다.

|    | A | B | C |
|----|---|---|---|
| 1  | 0 | 1 | 2 |
| 2  | 0 | 2 | 1 |
| 3  | 0 | 1 | 2 |

2. 열 최소값 뺄셈: 각 열의 최소값을 빼줍니다.

|    | A | B | C |
|----|---|---|---|
| 1  | 0 | 0 | 1 |
| 2  | 0 | 1 | 0 |
| 3  | 0 | 1 | 1 |

3. 최소 커버 선 그리기: '0'을 포함하는 최소 선을 그립니다.

4. 행렬 수정: 필요 시 행렬을 수정합니다.

5. 결과: 최종적으로, 행과 열에서 모든 '0'이 선택되는 행렬을 통해 최적의 할당을 찾습니다.

결론

헝가리안 알고리즘은 작업 할당 문제를 효율적으로 해결하는 강력한 도구입니다. 최적의 자원 분배를 통해 시간과 비용을 절약할 수 있으며, 다양한 응용 분야에서 활용 가능합니다. 아주 간단한 아이디어로 시작된 이 방법이 어떻게 복잡한 할당 문제를 해결하는지 이해하면, 향후 문제 해결에 중요한 전략을 제공할 것입니다.